Puissance d’un test
9. Puissance d’un test#
Nos tests sont construits de tel sorte que \(\mathbb{P}(\mbox{ Erreur du type I }) =\alpha\).
La probabilité de ne pas rejeter une fausse hypothèse \(H_0\) dépend de \(H_1\).
La puissance d’un test est
Dans le cas où \(H_0:\theta=\theta_0\), et \(H_1\) dépend de \(\theta\), la puissance s’écrit comme \(\pi(\theta)\). Remarques:
A \(\alpha\) égal on veut la plus grande puissance possible.
Plus \(H_1\) est éloignée de \(H_0\), plus la puissance est grande: les grandes différences ont plus de chances d’être détectées.
La puissance augmente avec \(n\). On veut \(\pi(\theta)\) le plus grand possible. En règle générale \(\pi(\theta)\) est difficile à calculer. Illustration avec \(H_0:\theta=170\). Gauche: le cas idéal (en général irréalisable). Droite: un cas plus réaliste (\(\alpha=0.05\)).
Il existe énormément de tests différents pour des hypothèses plus ou moins complexes.
Deux classes importantes de tests sont:
des tests paramètriques, se basant sur un modèle probabiliste paramètrique—par exemple, \(X_1,\ldots, X_n\stackrel{idd}{\sim} \mathcal{N}(\mu, s^2)\), et \(H_0:\mu=0\);
des tests nonparamétriques, se basant sur un modèle probabiliste plus général—par exemple, \(X_1,\ldots, X_n\stackrel{idd}{\sim} f\), et \(H_0:\mathbb{P}(X>0)=\mathbb{P}(X<0)=1/2\), c’est à dire, la médiane de \(f\) est 0.
L’avantage principal d’un test paramétrique est la possibilité de trouver un test (presque) optimal, si les suppositions sous-jacentes sont correctes. Dans le cas contraire, un tel test pourrait être mauvais–par ex., si des valeurs abérrantes sont présentes.
Un test nonparamétrique n’a pas forcément ce défaut, mais il est souvent moins puissant qu’un test paramétrique.
Il y a en effet généralement un compromis entre flexibilité et efficacité.