2. Arrangements et combinaisons#

Définition 2.1 (Arrangements)

Considérons un ensemble de \(n\) objets (boules numérotées, par exemple) distincts. Le nombre d’arrangements de \(k\) objets (distincts) dans un ordre déterminé est donné par:

\[\begin{gather*} A^n_k = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.\end{gather*}\]

Dans un arrangement l’ordre compte. Autrement dit, on différencie les tirages \((1,2,3)\) et \((1,3,2)\), par exemple. On considère en fait des \(k-\)tuples (ordonnés, donc).

Définition 2.2 (Combinaisons)

Considérons un ensemble de \(n\) objets (boules numérotées, par exemple) distincts. Le nombre de combinaisons de \(k\) objets (distincts) est donné par:

\[\begin{gather*} C^n_k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{A^n_k}{k!} .\end{gather*}\]

Dans une combinaison, l’ordre n’importe pas. Autrement dit, on ne différencie pas les tirages \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,3,2\}\), par exemple. On considère des sous-ensembles (pas ordonnés, donc).

Les coefficients binomiaux se retrouvent dans bien des domaines des mathématiques. Vous les avez surement déjà rencontrés.

  • Dans la formule du binôme de Newton:

\[\begin{gather*} (a + b)^n = \sum_{k=0}\binom{n}{k} a^k b^{n-k}.\end{gather*}\]

  • dans la formule de Stirling;

  • dans les problèmes de dénombrements (de probabilité);

  • et dans bien d’autres cas!

Exemple 2.3 (l’Euromillion)

On s’intéresse à la probabilité de gagner à l’Euromillion. Il s’agit d’une loterie à deux grilles. Dans la première, il faut choisir, sans remise, 5 numéros choisis entre 1 et 50. Dans la seconde, il s’agit de choisir 2 « étoiles » parmi 12. Quelle est la probabilité de gagner?

Solution

Il s’agit de compter le nombre de combinaisons possibles de 5 chiffres parmi 50 et de 2 « étoiles » parmi 12. On a alors:

\[\begin{gather*}\mathbb{P}(\text{gros lot}) = \frac{1}{\binom{50}{5} \binom{12}{2}} \approx 7.15\cdot 10^{-9}.\end{gather*}\]