4. Probabilités totales et théorème de Bayes#

4.1. Probabilités totales#

Théorème 4.1 (Loi des probabilités totales)

Soit \( A \) un événement, et \( B_1 \dots B_n \) une partition de \( \Omega \), c’est-à-dire une famille d’ensembles qui satisfait les deux propriétés suivantes:

  • \(\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega\);

  • \(B_i \cap B_j = \emptyset\) pour tous \(i\neq j\). On a alors:

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i).\end{gather*}\]
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Fig. 4.6 : Probabilités totales: diagramme de Venn#

La formule des probabilité totale permet de décrire des systèmes plus complexes en deux étapes, en connaissant

  • la probabilité de chaque \( B_i \);

  • la probabilité de \( A \) sachant chaque \( B_i\). Dans la pratique, elle est aussi essentielle car d’elle découle la formule d’espérance totale.

Exemple 4.1

Trois machines \(M_1,M_2,M_3\) produisent respectivement \(1000, 500\) et \(500\) tiges de métal. Ces même machines sont imparfaites et produisent respectivement \(5\%, 4\%\) et \(2\%\) de pièces défectueuses. Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard parmi les 2000 soit défectueuse?

Solution

Les probabilités que la pièce vienne de la machine \( M_i \) sont respectivement données par:

\[\begin{align*} \mathbb{P}(M_1) &= 1000 / 2000 = 1/2; \\ \mathbb{P}(M_2) &= 500 / 2000 = 1/4; \\ \mathbb{P}(M_3) &= 500 / 2000 = 1/4. \end{align*}\]

On peut donc appliquer la formule de la probabilité totale:

\[\begin{align*} \mathbb{P}\left(\text{Pièce défectueuse}\right) &= 0.05 \cdot \frac{1}{2} + 0.04 \cdot \frac{1}{4} + 0.02 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 0.04 \end{align*}\]

4.2. Théorème de Bayes#

Théorème 4.2 (Théorème de Bayes)

Soient \(A\) et \(B_1 \dots B_n\) tels que les \(B_i\) forment une partition de \( \Omega \). Alors on a l’égalité suivante:

\[\begin{equation*} \mathbb{P}( B_i | A ) = \frac{\mathbb{P}(B_i \cap A)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) }{ \sum_{j=1}^n \mathbb{P}(A|B_j) \mathbb{P}(B_j) }. \end{equation*}\]

Ce théorème combine la formule de la probabilité conditionnelle et celle des probabilités totales.

Exemple 4.2

Il y a \( 10 \% \) de chances qu’un patient qui vienne voir le médecin ait un rhume. Il administre donc à chaque patient un test simple de dépistage.

  • si le patient est sain, le test a \(5\%\) d’être positif;

  • si le patient est malade, le test a \(100\%\) de chances d’être positif. Sachant que le test d’Alice est positif, quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

Solution

On va utiliser la partition: \(B_1 =\) « sain » et \(B_2 =\) « malade » et \(A =\) « test positif ». On doit donc calculer \(\mathbb{P}(B_2 | A)\). On calcule d’abord \( \mathbb{P}(A)\) et on en déduit \(\mathbb{P}(B_2 | A)\) à l’aide de la formule de Bayes.

\[\begin{align*} \mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(A|B_1) \cdot \mathbb{P}(B_1) + \mathbb{P}(A|B_2) \cdot \mathbb{P} (B_2)\\ &= 0.05 \times 0.9 + 1 \times 0.1 = \frac{29}{200} = 0.145 \end{align*}\]

On peut alors calculer:

\[\begin{align*} \mathbb{P}(B_2|A) &= \frac{\Pr(A|B_2) \cdot \mathbb{P}(B_2)}{\Pr(A)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{29}{200}} = \frac{20}{29} \approx 0.69. \end{align*}\]