3. Probabilité conditionelle et indépendence#

Définition 3.7 (Probabilité conditionnelle)

La probabilité que l’événement \(A\) se réalise peut être modifiée si on sait que l’événement \(B\) s’est déja réalisé. La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie comme:

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}. \end{gather*}\]

A noter que si \(B\) s’est réalisé, on a nécessairement \(\mathbb{P}(B) >0\).

Définition 3.8 (Indépendance)

Si le fait que \( B \) ait eu lieu ne change pas la probabilité de l’événement \(A\), alors \( A \) et \( B \) sont dits indépendants. Dans ce cas, on a:

  • \(\mathbb{P}(A \cap B ) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)\);

  • \(\mathbb{P}(A | B ) = \mathbb{P}(A);\)

  • \(\mathbb{P}(B | A ) =\mathbb{P}(B).\)

Exemple 3.2 (Deux jets d’une pièce)

Quelle est la probabilité d’avoir pile au 2ème jet, sachant qu’on a déja fait pile au premier?

Solution

Si on modélise les deux lancers de la pièce comme indépendants, et chaque lancer comme équiprobable, alors la probabilité de faire pile au deuxième lancer sachant qu’on a déjà fait pile au premier est:

\[\begin{align*} \mathbb{P}( \text{Pile au 2ème} | \text{Pile au 1er}) &= \mathbb{P} ( \text{Pile au 2ème} ) \\ &= 1/2 \end{align*}\]

Exemple 3.3 (Jet de dé)

Est-ce que les événements \(\{2,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont indépendants?

Solution

Les événements ne sont pas indépendants. Pour le vérifier, calculons sous une hypothèse d’équiprobabilité:

\[\begin{align*} \mathbb{P}( \{2,4\} | \{2,4,6\} ) &= 2/3 \\ \mathbb{P}( \{2,4\} ) &= 2/6 \neq 2/3 \end{align*}\]

Définition 3.9 (Indépendance entre \(n\) évènement)

On peut généraliser l’indépendance à \(n\) événements: \( A_1 \dots A_n \) sont indépendants si pour tout sous-ensemble \( \{i_1, \dots, i_k\} \subset \{1,\dots, n\} \):

\[\begin{gather*} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) = \prod_{j=1}^k \mathbb{P}(A_{i_j} ). \end{gather*}\]

Exemple 3.4 (Système redondant)

Un système contient \(n\) composants qui fonctionnent en parallèle: le système fonctionne si au moins un composant fonctionne. On suppose que les pannes des composants sont des événements indépendants.

  • Quelle est la probabilité que le système fonctionne si chaque composant \(i\) a une probabilité \(p_i\) de tomber en panne?

  • Quelle serait la probabilité si le système était monté en série?

Solution

Soient \(A_1, \dots, A_i,\dots, A_n\) les événements « Le \(i\)ième composant tombe en panne ». Alors pour que le système tombe en panne, il faut

  • dans le cas du système en parallèle, que tous les composants tombent simultanément en panne. La probabilité de cet événement est donc

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(\bigcap_{i =1 }^n A_i) = \prod_{i = 1}^n \mathbb{P}(A_i) = \prod_{i = 1}^n p_i .\end{gather*}\]

  • dans le cas du système en série, qu’au moins un composant tombe en panne, ce qui correspond à l’événement \(\bigcup_{i =1 }^n A_i\). On peut alors calculer la probabilité de cet événement en utilisant les lois de De Morgan:

\[\begin{align*} \mathbb{P}(\bigcup_{i =1 }^n A_i) & = 1- \mathbb{P}\left[\left(\bigcup_{i =1 }^n A_i)^c \right)\right] = 1- \mathbb{P}\left(\bigcap_{i =1 }^n A_i^c\right) \\ &= 1- \prod_{i = 1 }^n \left[1- \mathbb{P}\left( A_i \right)\right] = 1- \prod_{i = 1}^n (1-p_i). \end{align*}\]

On note l’utilisation du fait que si \(A_1, \dots, A_n\) sont mutuellement indépendants, alors \( A_1^c, \dots, A_n^c\) le sont aussi.