6. Variables aléatoires continues

Définition 6.1 (Variable aléatoire continue)

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre des valeurs sur un ensemble non-dénombrable, en général un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels.

Par exemple:

• le poids d’un être humain;

• le temps chronométré d’un 100m;

• la pression atmosphérique.

Définition 6.2 (Fonction de densité)

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle continue. La fonction de densité de \(X\), notée \(f_X(x)\) satisfait

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f_X(u) du, \end{gather*}\]

pour tout \(A\subset \mathbb{R}\). En particulier, pour tout \(a<b, a,b\in \mathbb{R}\), on a

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(X \in [a,b]) = \int_a^b f_X(u) du. \end{gather*}\]

Propriété 6.1 (Fonctions de densité)

On a les deux propriétés essentielles suivantes:

• On a les deux propriétés essentielles suivantes:

\[\begin{gather*}f_X(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(u) du = 1.\end{gather*}\]

• avec \(A = [a,a]\), on trouve:

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(X=a) = \int_a^a f_X(u) du = 0; \end{gather*}\]

• la fonction de répartition est une primitive de la densité:

\[\begin{gather*} F_X(a) = \mathbb{P}(X\leq a) = \int_{-\infty}^a f_X(u) du \end{gather*}\]

• En tout point où \(f_X(x)\) est continue:

\[\begin{gather*} f_X(x) = F_X'(x).\end{gather*}\]

Avertissement

\(f_X(x)\) peut être plus grand que \(1\)!

Exemple 6.2

On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle \([0,1]\) de manière équiprobable. Soit \(X\) le résultat de cette expérience. Quelle est la densité de \(X\) ? Soient \(0<a<b<1\). Calculez:

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \dots \end{gather*}\]

Solution

Pour trouver la réponse, considérons l’histogramme construit avec un grand nombre de données qui suivraient la loi décrite.

Cet histogramme serait parfaitement plat sur l’intervalle \([0,1]\). En effet, si il y avait une bosse, cela correspondrait à une zone favorisée et violerait l’hypothèse d’équiprobabilité.

La densité est donc une fonction plate sur \( [0,1] \) et vaut \( 0 \) ailleurs. La seule solution possible est:

\[\begin{gather*} f(x) = \mathbf{1}_{[0,1]}(x). \end{gather*}\]

On peut alors calculer l’intégrale entre \( a \) et \( b \):

\[\begin{gather*} \int_a^b f(x) = b-a. \end{gather*}\]

Définition 6.3 (Loi uniforme)

La loi uniforme \( X \sim U(a,b)\) pour \( a < b \):

\[\begin{gather*} f_X(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 1/(b-a) & \text{si }a\leq x \leq b, \\ 0 & \text{sinon.} \\ \end{array} \right. \end{gather*}\]

Définition 6.4 (Loi exponentielle)

La loi exponentielle \(X \sim \exp(\lambda)\) pour \(\lambda > 0\):

\[\begin{gather*} f_X(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \lambda \exp(-\lambda x) & \text{si }x\geq 0, \\ 0 & \text{sinon.} \\ \end{array} \right. \end{gather*}\]

Définition 6.5 (Loi normale)

La loi normale \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\):

\[\begin{gather*} f_X(x) = \frac{1}{(2\pi \sigma^2)^{1/2}} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right). \end{gather*}\]

Si \( X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) alors \( Z = (X-\mu) / \sigma \sim \mathcal{N}(0,1)\) (standardisation). On a déja vu la densité \( \phi \) et la fonction de répartition \( \Phi \) de \(Z\).

Définition 6.6 (Loi Gamma)

La loi \(\Gamma\): \(X \sim \Gamma(k,\theta)\):

\[\begin{gather*} f_X(x) = \frac{x^{k-1}}{\Gamma(k) \theta^k} \exp(- x/\theta), \quad x \geq 0, \end{gather*}\]

où \(k\) et \(\theta\) sont appelés respectivement paramètres de forme et d’échelle (scale and shape).

Exemple 6.3 (Temps d’attente)

Le métro arrive toutes les 12 minutes. Si j’arrive à un moment au hasard, quelle est la probabilité que j’attende:

• plus de 8 minutes?

• moins de 2 minutes?

• entre 3 et 6 minutes?

\[\begin{gather*} \mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \dots \end{gather*}\]

Solution

On peut représenter mon temps d’attente par une loi uniforme: si j’arrive complètement au hasard au métro, il n’y pas de raisons pour que la distribution ait un biais quelconque. Sous cette hypothèse, on trouve la densité:

\[\begin{gather*} f(x) = \mathbf{1}_{[0,12]}(x). \end{gather*}\]

On a alors:

\[\begin{align*} \mathbb{P} (X \geq 8) &= 1 / 3, \\ \mathbb{P} (X \leq 2) &= 1 / 6, \\ \mathbb{P} (3 \leq X \leq 6) &= 1 / 4. \end{align*}\]

Exemple 6.4 (Chute de pluie)

La probabilité qu’il pleuve pendant une journée est de 0.2. S’il pleut, la quantité de pluie suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0.05\), exprimée en millimètres. Trouver la probabilité qu’il pleuve plus de 2mm.

Solution

Il faut utiliser ici la formule de la probabilité totale, car on connaît la loi conditionnelle de \(X\) les jours de pluie. On utilise la partition \(B_1 = \)« jour de pluie » et \(B_2 = \)« jour sans pluie ». On a alors

\[\begin{align*} \mathbb{P} (X \geq 2mm) &= \mathbb{P} (X \geq 2 | B_1) \mathbb{P} (B_1) + \underbrace{\Pr(X \geq 2 | B_2)}_{= 0} \mathbb{P} (B_2)\\ = \mathbb{P} (X \geq 2) &= 0.2 \cdot \int_2^\infty \lambda \exp(-\lambda x) dx \\ &= 0.2 \cdot \exp( - 0.05 \cdot 2 ) \\ &\approx 0.180 \end{align*}\]

Exemple 6.5 (Chute de pluie 2)

Supposons que la quantité de pluie qui tombe pendant une année suit une loi normale \( \mu = 140cm \) et \( \sigma^2 = 16cm^2 \). Quelle est la probabilité qu’il tombe entre 135 et 150 cm ?

Solution

Il faut standardiser la probabilité demandée pour trouver la réponse:

\[\begin{align*} \mathbb{P} (135 \leq X \leq 150) &= \mathbb{P} (-5 \leq X - \mu \leq 10) \\ &= \mathbb{P} (-1.25 \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq 2.5) \\ &= \Phi(2.5) - \Phi(-1.25) \\ &= \Phi(2.5) - \bigg( 1 - \Phi(1.25) \bigg) \end{align*}\]

On utilise enfin le formulaire du cours pour \( \Phi \) et on trouve:

\[\begin{gather*} \mathbb{P} (135 \leq X \leq 150) = 0.994 + 0.89 - 1 = 0.884. \end{gather*}\]